pdf Algèbre 2 - Université Paris IX Dauphine - UFR Mathématiques de la décision Populaires

Table des matières

1 Espaces vectoriels 7
1.1 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Bases d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Somme directe de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Somme directe de k sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . 13
2 Applications lineaires 14
2.1 Définitions et vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Propriétés élementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Image et noyau d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Cas de la dimension finie : le théor`eme du rang . . . . . . . . 17
2.4.1 Le théor`eme du rang et ses applications . . . . . . . . . 17
2.4.2 Le théor`eme du rang si dim(E) = dim(F) . . . . . . . 18
2.5 Projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Représentation matricielle 20
3.1 Caractérisation d’une application linéaire par l’image d’une base 20
3.2 Matrices et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.1 Liens avec le calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.2 Produit de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.3 Ecriture matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4.1 Action d’un changement de base sur les composantes
d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4.2 Action d’un changement de base sur la matrice représentant
une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4.3 Matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.5 Retour aux syst`emes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 Déterminants 27
4.1 Formes m-linéaires alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 Déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2.1 Définition et propriétés admises . . . . . . . . . . . . . 28
4.3 Le théor`eme fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.4 Calcul pratique du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5 Diagonalisation des matrices et des endomorphismes 31
5.1 Valeurs propres et vecteurs propres d’un endomorphisme . . . 31
5.2 Valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice . . . . . . . 32
5.3 Endomorphismes et matrices diagonalisables . . . . . . . . . . 33
5.3.1 Endomorphismes diagonalisables . . . . . . . . . . . . 33
5.3.2 Matrices diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.4 Polynˆome caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.4.1 Le polynome caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.4.2 Multiplicité géométrique et multiplicité algébrique des
valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.5 Calcul des puissances d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . 36